MAT/05

Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A.
CFU Durata (ore)
Periodo Sede
2017/2018 12 96 Ciclo Annuale Unico URBINO

Didattica in lingua straniera
Insegnamento con materiali opzionali in lingua straniera: Inglese

* La didattica è svolta interamente in lingua italiana. I materiali di studio e l'esame possono essere in lingua straniera.

Assegnato ai Corsi di Studio

Docente


Raffaella Servadei

raffaella.servadei@uniurb.it

Obiettivi Formativi
Lo scopo del corso è quello di fornire tutti i concetti basilari dell'analisi matematica per funzioni di una e più variabili e le relative tecniche di calcolo.  

Programma
01. Numeri:
01.01 Insiemi numerici: numeri naturali, numeri interi, numeri razionali e numeri reali.
01.02 Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton.
01.03 Proprietà algebriche e rappresentazione geometrica dei numeri razionali.
01.04 Dai numeri razionali ai numeri reali.
01.05 Valore assoluto e distanza sulla retta.
01.06 Intervalli sulla retta reale. Insiemi limitati e illimitati sulla retta reale. Massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale. Estremo inferiore e estremo superiore di un sottoinsieme della retta reale.
01.07 Il principio di induzione e applicazioni.02. Funzioni di una variabile:
02.01 Il concetto di funzione.
02.02 Funzioni reali di una variabile reale: generalità, funzioni limitate, funzioni simmetriche, funzioni monotone, funzioni periodiche.
02.03 Funzioni elementari.
02.04 Operazioni sui grafici.
02.05 Funzioni definite a tratti.
02.06 Funzioni composte.
02.07 Funzioni inverse.
02.08 Le funzioni trigonometriche inverse.03. Limiti di funzioni:
03.01 Limiti finiti al finito.
03.02 Teorema di unicità del limite*.
03.03 Limiti finiti all'infinito.
03.04 Asintoti orizzontali.
03.05 Limiti infiniti all'infinito.
03.06 Asintoti obliqui. Limiti infiniti al finito.
03.07 Limite destro e sinistro.
03.08 Asintoti verticali.
03.09 Non esistenza del limite.
03.10 Algebra dei limiti e forme indeterminate.
03.11 Teorema di permanenza del segno*.
03.12 Teorema di compressione (o dei carabinieri)*.
03.13 Teorema di cambio di variabile nel limite.
03.14 Definizione di funzioni asintoticamente equivalenti.
03.15 Limiti notevoli.
03.16 Gerarchia degli infiniti.04. Successioni:
04.01 Definizione di successione.
04.02 Successioni convergenti, divergenti e irregolari.
04.03 Successioni monotone.05. Continuità:
05.01 Funzioni continue.
05.02 Algebra delle funzioni continue.
05.03 Continuità delle funzioni elementari.
05.04 Continuità della funzione composta.
05.05 Limiti di polinomi.
05.06 Limiti di funzioni razionali.
05.07 Limiti notevoli.
05.08 Punti di discontinuità eliminabili e a salto.
05.09 Funzioni continue su un intervallo: Teorema degli zeri*, Teorema di Weierstrass e Teorema dei valori intermedi*.
05.10 Continuità della funzione inversa.06. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile:
06.01 Derivata di una funzione.
06.02 Significato geometrico della derivata.
06.03 Equazione della retta tangente al grafico di una funzione.
06.04 Derivate di funzioni elementari.
06.05 Legame tra continuità e derivabilità di una funzione*.
06.06 Algebra delle derivate*.
06.07 Derivata del prodotto e del quoziente di funzioni*.
06.08 Derivata della funzione composta*.
06.09 Derivata della funzione inversa*.
06.10 Derivata destra e sinistra e punti di non derivabilità.
06.11 Punti stazionari, massimi e minimi locali e globali.
06.12 Teorema di Fermat*.
06.13 Teorema di Lagrange* e applicazioni: test di monotonia e caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla su un intervallo.
06.14 Ricerca di massimi e minimi di funzioni.
06.15 Teorema di de L'Hospital.
06.16 Derivata seconda.
06.17 Concavità e convessità di una funzione.
06.18 Punti di flesso.
06.19 Studio del grafico di una funzione.07. Calcolo integrale per funzioni di una variabile:
07.01 Primitive e integrale indefinito di una funzione.
07.02 Primitive di funzioni elementari.
07.03 Area di una regione piana.
07.04 Definizione di integrale definito.
07.05 Classi di funzioni integrabili.
07.06 Proprietà dell'integrale definito.
07.07 Il Teorema della media*.
07.08 Il Teorema fondamentale del Calcolo Integrale*.
07.09 Primi metodi di integrazione: scomposizione e sostituzione.
07.10 Integrazione di funzioni razionali.
07.11 Integrazione per parti*.
07.12 Integrazione di funzioni trigonometriche.
07.13 Integrazione di funzioni irrazionali.
07.14 Integrazione di funzioni non limitate e integrazione su intervalli illimitati.
07.15 Criteri di integrabilità: confronto e confronto asintotico*.08. Serie numeriche:
08.01 Definizione e primi esempi: serie geometrica, serie armonica, serie armonica generalizzata.
08.02 Condizione necessaria alla convergenza*.
08.03 Serie a termini positivi: criteri del confronto* e del confronto asintotico*, criteri della radice e del rapporto.
08.04 Confronto tra serie numeriche e integrali impropri.
08.05 Serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta.
08.06 Serie a segni alterni.
08.07 Criterio di Leibniz.
08.08 Serie numeriche dipendenti da un parametro.09. Approssimazione di funzioni e Formula di Taylor:
09.01 Differenziale e approssimazione lineare.
09.02 Il simbolo di "o piccolo".
09.03 Sviluppi asintotici e applicazione al calcolo di limiti.
09.04 Polinomio di Taylor.
09.05 Formula di Taylor con il resto di Peano*.
09.06 Formula di Taylor per funzioni elementari.
09.07 Formula di Taylor con il resto di Lagrange e con il resto integrale.
09.08 Applicazioni: approssimazione di funzioni, stima dell'errore e calcolo di limiti.
09.09 Serie di Taylor e sviluppi in serie di Taylor di funzioni elementari.10. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali:
10.01 Generalità.
10.02 Dominio, grafico e curve di livello.
10.03 Topologia in Rn: distanza e sue proprietà, intorni, insiemi aperti e chiusi e loro proprietà.
10.04 Limiti.
10.05 Calcolo di limiti: metodo delle restrizioni e delle coordinate polari.
10.06 Continuità.
10.07 Teorema di Weierstrass.
10.08 Derivate parziali e gradiente.
10.09 Significato geometrico delle derivate parziali.
10.10 Derivate direzionali.
10.11 Piano tangente.
10.12 Differenziabilità e approssimazione lineare.
10.13 Teorema del differenziale totale*.
10.14 Formula del gradiente.
10.15 Formule di calcolo per le derivate.
10.16 Teorema di derivazione delle funzioni composte.
10.17 Derivate di ordine superiore.
10.18 Teorema di Schwarz*.
10.19 Formula di Taylor in R2.11. Curve in Rn:
11.01 Funzioni a valori vettoriali.
11.02 Limiti e continuità.
11.03 Derivate per funzioni a valori vettoriali.
11.04 Teorema di derivazione delle funzioni composte.
11.05 Curve in R2 e in Rn.
11.06 Parametrizzazioni e sostegno.
11.07 Curve chiuse e curve semplici.
11.08 Curve nel piano e nello spazio.
11.09 Parametrizzazioni di curve nel piano: equazioni parametriche di rette, semirette e segmenti.
11.10 Equazioni parametriche delle coniche.
11.11 Grafici di funzioni.
11.12 Parametrizzazioni di curve nello spazio.
11.13 Curve regolari.
11.14 Versore tangente.
11.15 Curve regolari a tratti.12. Ottimizzazione:
12.01 Massimi e minimi relativi per funzioni di due o più variabili.
12.02 Punti critici.
12.03 Condizione necessaria del primo ordine (Teorema di Fermat).
12.04 Matrice Hessiana.
12.05 Classificazione dei punti critici in R2 e in Rn.
12.06 Massimi e minimi vincolati.
12.07 Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.13. Calcolo integrale per funzioni reali di due variabili reali:
13.01 Integrali doppi sui rettangoli.
13.02 Formule di riduzione su un rettangolo.
13.03 Significato geometrico dell'integrale doppio.
13.04 Integrali doppi su insiemi limitati e misurabili: domini semplici e regolari.
13.05 Proprietà elementari dell'integrale.
13.06 Formule di riduzione su domini semplici.
13.07 Cambiamento di variabili in R2.
13.08 Formula del cambiamento di variabili per integrali doppi.
13.09 Integrali doppi impropri.14. Equazioni differenziali ordinarie:
14.01 Generalità.
14.02 Equazioni a variabili separabili.
14.03 Equazioni differenziali lineari: generalità e principio di sovrapposizione.
14.04 Equazioni lineari del primo ordine.
14.05 Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee: integrale generale e determinante wronskiano.
14.06 Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti non omogenee: integrale generale e metodo di somiglianza.
14.07 Equazione di Eulero ed equazione di Bernoulli.
14.08 Equazioni differenziali non lineari.
14.09 Problema di Cauchy.
14.10 Teorema di esistenza e unicità locale.
14.11 Cenni sui problemi ai limiti.* : tutti gli argomenti con l'asterisco sono da intendersi con relativa dimostrazione.

Eventuali Propedeuticità
Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Si suggerisce di sostenere l'esame di Analisi Matematica dopo aver sostenuto l'esame di Matematica Discreta e prima di sostenere gli esami di Algoritmi e Strutture Dati, Elaborazione di Segnali e Immagini, Fisica I e Probabilità e Statistica Matematica.Si consiglia infine di sostenere l'esame di Analisi Matematica durante il primo anno di corso.

Risultati di Apprendimento (Descrittori di Dublino)
Conoscenza e comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le conoscenza fondamentali di analisi matematica per lo studio di funzioni di una o più variabili.Capacità di applicare conoscenze e comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le metodologie proprie dell'analisi matematica e sarà in grado di applicarle allo studio di problemi di vario genere.Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare i metodi dell'analisi matematica al fine di risolvere nuovi problemi, anche di natura applicativa.Abilità comunicative:
Al termine del corso lo studente avrà acquisito la capacità di esprimere i concetti fondamentali dell'analisi matematica con un certo rigore.Capacità di apprendimento:
Durante il corso lo studente acquisirà la capacità di studiare e apprendere le nozioni di analisi matematica, anche al fine di utilizzarle per la risoluzione di problemi di natura applicativa. 

Modalità Didattiche, Obblighi di Frequenza, Testi di Studio e Modalità di Accertamento
Modalità Didattiche
Lezioni teoriche ed esercitazioni.
Obblighi di Frequenza
Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.
Testi di Studio
Adams, Calcolo Differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana
Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Editrice Ambrosiana
Adams - Essex, Calculus: a complete course, Pearson Canada
Barutello - Conti - Ferrario - Terracini - Verzini, Analisi matematica, Vol.2, Apogeo
Bramanti - Pagani - Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli
Bramanti - Pagani - Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli
Bramanti - Pagani - Salsa, Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Zanichelli
Conti - Ferrario - Terracini - Verzini, Analisi matematica, Vol.1, Apogeo
Salsa - Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli
Salsa - Squellati, Esercizi di Analisi matematica 2, Zanichelli
Modalità di Accertamento
L'esame di Analisi Matematica consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.
La prova scritta, della durata di tre ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma del corso. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l'utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l'esclusione.
La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma del corso. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale solo nell'appello nel quale è stato superato l'esame scritto o negli appelli della medesima sessione.
Il voto finale dell'esame di Analisi Matematica è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Note
L'insegnamento offre servizi di didattica integrativa on-line all'interno della piattaforma Moodle > elearning.uniurb.it