MAT/05 Analisi Matematica Calculus

A.A.
CFU Durata (ore)
Periodo Sede
2013/2014 12 96 ore primo e secondo semestre Collegio Raffaello, Piazza della Repubblica 13, Urbino

Assegnato ai Corsi di Studio

Docente


Renzo Lupini

renzo.lupini@uniurb.it

Obiettivi Formativi
Lo scopo del Corso è di fornire le principali tecniche di calcolo partendo dalla teoria dei numeri attraverso successioni e serie numeriche, funzioni di una o più variabili, calcolo differenziale, calcolo integrale ed equazioni differenziali ordinarie.

Programma
01. Generalità su insiemi, relazioni e strutture:
01.01 L'algebra degli insiemi.
01.02 Relazioni.
01.03 Funzioni.
01.04 Operazioni binarie.
01.05 Numeri naturali.

02. La retta e il piano razionali:
02.01 Il sistema algebrico dei numeri naturali, interi e razionali.
02.02 Punti, traslazioni e vettori nel piano cartesiano.
02.03 Algebra vettoriale nel piano.
02.04 Rappresentazione cartesiana di rette, semirette e segmenti.

03. Funzioni razionali in una variabile:
03.01 Grafico di una funzione.
03.02 Proprietà analitiche di una funzione e proprietà del grafico.
03.03 Restrizioni di funzioni.
03.04 Algebra di funzioni e composizione di funzioni.
03.05 Il grafico delle funzioni lineari.
03.06 Il grafico delle funzioni quadratiche.

04. Numeri reali:
04.01 L'equazione y = x^2 e il problema della funzione inversa.
04.02 L'equazione di punto fisso e l'algoritmo di Newton per approssimare 2^1/2.
04.03 Successioni limitate monotone di numeri razionali e irrazionali.
04.04 Il sistema algebrico dei numeri reali.
04.05 Retta e piano reali.
04.06 Convergenza di successioni di numeri reali. Completezza.
04.07 Serie di numeri reali: somme e criteri di convergenza.

05. Funzioni reali in una variabile:
05.01 Funzion potenza ed esponenziale.
05.02 Funzioni definite a tratti.

06. Limiti e continuità:
06.01 Limite in un punto.
06.02 Funzioni infinitesime.
06.03 Continuità.
06.04 Teorema di Weierstrass.

07. Differenziabilità:
07.01 Formula di Taylor al prim'ordine. Retta tangente al grafico.
07.02 Funzioni derivate.
07.03 Punti singolari. Discontinuità e punto angoloso di un grafico.

08. Teoremi del Calcolo Differenziale:
08.01 Classificazione di punti stazionari regolari.
08.02 Teoremi di Rolle e Lagrange sugli incrementi finiti.

09. Derivate di ordine successivo:
09.01 Derivate successive.
09.02 Funzioni infinitamente differenziabili.

10. Integrazione definita e indefinita:
10.01 Il problema dell'area e il problema di inversione della derivata.
10.02 Somme di Riemann e integrale definito.
10.03 Proprietà dell'integrazione definita e indefinita.
10.04 Primitive e teorema di Leibniz-Newton. Teorema di Lagrange sul valor medio.

11. Funzioni circolari:
11.01 Il cerchio unitario.
11.02 Funzioni seno, coseno e tangente.
11.03 Geometria piana.

12. Formula di Taylor e analisi locale:
12.01 Formula di Taylor al prim'ordine.
12.02 Derivata seconda e formula di Taylor al second'ordine.
12.03 Classificazione dei punti stazionari regolari.

13. Curve regolari nel piano:
13.01 Cinematica e curve regolari nel piano.
13.02 Ellissi e iperboli.
13.03 Curve semplici chiuse ed aperte.

14. Regioni del piano:
14.01 Curve semplici chiuse ed aperte e regioni del piano.
14.02 Limitatezza e connessione.

15. Campi scalari piani e funzioni in due variabili:
15.01 Campi scalari e campi vettoriali piani. Algebra dei campi piani.
15.02 Curve di livello e topografia di un campo scalare piano.

16. Limiti, continuità e differenziabilità di campi scalari:
16.01 Campi infinitesimi: continuità e differenziabilità.
16.02 Formula di Taylor al prim'ordine e gradiente.
16.03 Calcolo Differenziale in due variabili.

17. Campi vettoriali piani:
17.01 Campi vettoriali piani.
17.02 Algebra dei campi piani.
17.03 Campi infinitesimi e approssimazione locale.
17.04 Differenziabilità di campi vettoriali e seconda differenziabilità.

18. Analisi locale al second'ordine:
18.01 Matrice Hessiana e formula di Taylor al second'ordine.
18.02 Analisi locale in punti stazionari regolari.

19. Ottimizzazione:
19.01 Ottimizzazione con vincolo su una curva.
19.02 Ottimizzazione su una regione.
19.03 Ottimizzazione di funzioni quadratiche sul piano.
19.04 Retta dei minimi quadrati per un sistema finito di punti.

20. Spazio tridimensionale:
20.01 Algebra e geometria di punti e vettori nello spazio.
20.02 Equazioni di rette e piani nello spazio.
20.03 Grafico di una funzione in due variabili. Curve coordinate e curve di livello.
20.04 Superfici semplici chiuse e aperte e regioni nello spazio.
20.05 Regioni proiettabili: cilindri curvilinei e parallelepipedi.

21. Integrali doppi:
21.01 Approssimazione di volumi di regioni tridimensionali proiettabili.
21.02 Somme di Riemann per funzioni in due variabili.
21.03 Proprietà degli integrali doppi.
21.04 Volumi e integrali doppi.
21.05 Integrali iterati semplici.
21.06 Integrazione in coordinate polari.

22. Variabile complessa:
22.01 Algebra complessa e piano complesso. Teorema fondamentale dell'Algebra.
22.02 Formula di Eulero ed esponenziale complesso.

23. Integrali impropri:
23.01 Integrali impropri in una variabile e aree di regioni piane non limitate.
23.02 Integrali doppi impropri e volumi di regioni dello spazio non limitate.

Eventuali Propedeuticità
Non vi sono propedeuticità obbligatorie.
 
Si suggerisce di sostenere l'esame di Analisi Matematica dopo aver sostenuto l'esame di Matematica Discreta e prima di sostenere gli esami di Algoritmi e Strutture Dati, Elaborazione di Segnali e Immagini, Fisica I e Probabilità e Statistica Matematica.

Risultati di Apprendimento (Descrittori di Dublino)
 

Modalità Didattiche, Obblighi di Frequenza, Testi di Studio e Modalità di Accertamento
Modalità Didattiche
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Obblighi di Frequenza
Sebbene formtemente consigliata, la frequenza non è obbligatoria.
Testi di Studio
Lupini, "Matematica" parte 1 e parte 2, Quattroventi, 2005.
Bramanti, Pagani, Salsa, "Matematica", Zanichelli, 2000.
Thomas, Finney, "Calculus and Analytic Geometry", Addison Wesley Publishing Company, 1998.
Modalità di Accertamento
Prova scritta e prova orale.
La prova scritta viene valutata in trentesimi ed è ritenuta sufficiente se il relativo voto, che rimane valido per tutti gli appelli dell’anno accademico in cui la prova viene sostenuta, è di almeno 18/30.
La prova orale può essere sostenuta solo previo superamento della prova scritta. Se sufficiente, il relativo esito comporta un aggiustamento per eccesso o per difetto di al più 12/30 del voto della prova scritta, determinando così il voto finale.

Note
Il corso è erogato sia nel "percorso in presenza" che nel "percorso online" del Corso di Laurea di Informatica Applicata.
Per materiale didattico e informazioni aggiuntive visitare http://www.sti.uniurb.it/lupini/